一本导论最容易犯的错误，不是说错，是说得像是全部。
前六章反复使用 S、D、E 三个字母，读者读到这里，很自然会以为已经掌握了这套框架的全貌。事实不是这样：本书用到的，是三个维度各自的一层或一格；被略去的那几层，恰好是本体论本身的主体。
不交代这件事，会有两个后果。往轻里说，读者会拿一个入口去解释它解释不了的事；往重里说，本书会被误认为宣称“数学＝S＋D＋E”这样一句空话。划出边界，是使一个框架可用的前提。
首先要正一个名。
S 是显露（Show），不是结构（Structure）。
这不是措辞讲究。显露是一条连续谱——从模糊、到轮廓浮现、到清晰可指认、到可计算；“结构”只是这条谱上最坚硬、最稳定的那一端。用“结构”命名整个 S 维度，会把一条谱窄化成它的一个端点。
后果是具体的：如果 S 只指“已经稳定下来的结构”，那么“一个概念正在发生的那一段”就没有词可以说。而本书第三、四章讲的整整两条链，讲的全是那一段——加法在被发明出来之前的那个状态，既不是“没有加法”，也不是“已有加法”。它在谱的中段。
本书主要使用的是谱的稳定端（圆、sin、共振算子都是可指认的对象），但必须保留整条谱的说法，否则第三、四章的叙述在自己的术语里说不通。
差异序列有三层：
D1 意义目标——方向：什么算“解决了”。 D2 路径组织——允许的路径族：
怎么推进、怎么比较、怎么收敛。 D3 优化约束——推进中被最小化的东西：
误差、冗余、损耗。
第一编前六章讲的 D，几乎全是 D2：内接与外切、参数化、分割求和、极限。
另外两层直到后面才补：D3 在第三编第十六、十七章（压缩通道讲的正是代价：误差、冗余、损耗），D1 在第三编第十八章（目标发生讲的正是“什么算解决了”这一层从哪里来）。
这个次序是刻意的。若在第一编就把三层一起端出来，读者会把它当成一张分类表背下来；等到第三编需要用 D1 与 D3 去做判定时，它们已经变成了标签。先让读者在具体例子里撞上“代价”和“目标”，再给它们名字。
纠缠系统也有三维：
E1 三界——理念界（概念、规则、制度）、现实界（身体、器具、地理）、
自我界（记忆、身份、意志）。 E2 信息的三种模态——符号态、逻辑态、数
学态。 E3 能量的三种状态。
本书用到的 E，绝大部分落在 E1 的理念界这一格：度量、拓扑、函数空间、公理系统、允许类，全在这一格里。
有一处必须点明，因为它关系到本书的适用范围：数学不独属理念界。 三界各有其数学——物理定律是现实界本有的场模式，不是拿理念界的数学去套现实。这一条是化解“数学何以不合理地有效”那个疑问的方向，但它的完整展开属于本体论本身，不在本书范围内。
本书只在一处用到它，而且只用到一句：两个问题若分属不同的界，同一副几何骨架可以被两套场模式分别显影，因而给出相反的秩序。 这句话在本书的姊妹卷里有一个具体的、可核对的实例（同一对候选结构在两个不同泛函下胜负相反）。本书不重复那个实例，只标明这条边界存在。
一个诚实的划界，必须说明“略去”是否损害了论证。逐条看：
略去 D1 与 D3（在第一编内）——不损害，因为第一编只制造缺口，不做判定。判定需要三层齐备，而判定在第三编，那里三层都补上了。略去 E2 与 E3——对本书的四条主线（决定定理、三通道、退化定理、失明判据）不构成缺口，因为这四条全部在理念界内部就能陈述与检验。但要注意：这也意味着本书对“数学为什么对现实有效”这个问题没有给出回答，只指了一个方向。
略去意义三律、存在三态、SIO 内部结构等——这些属于本体论主干，与本书主题的接触面很小。略去它们不影响本书任何一条命题。
另注：本书不使用 varifold 的任何定理，第二章第十二节只是指出该对象存在并且早有名字；几何测度论本身不在本书范围内。
一句话总结：本书是一个入口，不是一张地图。 用入口去走它通向的那几条路，是对的；用入口去代替地图，会走错。
框架最常见的死法不是被推翻，是被滥用——什么都能套，于是什么都不说。为防止这一点，本书给一条硬规则：
不得把 S、D、E 用作分类标签。 每一次使用，必须能回答三问：变量是什
么？定义域是什么？什么情况下它会失败？ 三问答不出来，就不要用这三个
字母；改用该领域自己的话说。
按这条规则回看本书：第二编给了 sin 的四条路径与十一行归属表（变量、定义域、失败情形俱全）；第三编给了三条通道各三条签名与四条失败标准；第四编给了共振算子的定义域、常数、收敛率与四条失败标准。凡不能这样落地的地方，本书用的是普通数学语言，没有贴标签。
本编到此结束。它交出的是：一个对象上的四格表（第二章），一整条链上的两种形状（第四章），两条边界（第五、六章），和一份适用范围声明（本章）。
它没有交出任何一条命题。 这是刻意的：一本书若在第一编就给结论，读者不会知道那个结论是在补什么缺口。
第二编第一页开始给命题。请带着第二章那张四格表去读它。
编首语
第一编用圆与曲线制造了一个缺口：终态定义把生成条件和环境条件藏了起来，而藏起来的那两样并不是可以事后补上的注解——换一条逼近路径，有限阶段的周长就不同；换一个曲率环境，连 2πr 都不再成立。缺口已经打开，但第一编只到此为止：它给了例子，没有给命题。
本编补这一步。它要把"数学对象的显露态 S 的特征，由差异路径 D 与纠缠系统 E 决定"这句话，从一条听上去正确的宣告，改造成一条可以为假、可以被检验、可以被推翻的定理。
改造分四步。第八章设防——不设防，这句话自动为真且毫无内容，本编先说明为什么。第九章给出定理与证明。第十章至第十二章用一个对象把定理跑到底：函数sin(x)，四条互不相干的生成路径、一张逐条归属的特征表、五个可以一页纸算完的反例。第十三章交出四条硬边界，说明这条定理不说什么。第十四章回答一个必须正面回答的攻击：这一编在范畴论之外究竟做了什么。
选 sin(x) 作标本有三个理由。它足够熟悉，读者不必先学一门新学科；它足够富裕，有微分、级数、群论、几何四套互不相同的生成方式；它足够坚硬，它的每一条性质都有精确的经典陈述，因此归属判断可以被当场证伪。第一编的圆做不到最后一条——圆的性质容易被说成"直观上如此"，而 sin 的性质全部有等式。
一句话预告本编的结论：定理本身在形式化之后近乎自明；真正承重的是归属——每一条特征究竟是 D 给的还是 E 给的，以及这个判断能否预言"换掉 E 之后哪一条会翻面"。第十一章会给出一个例子，其中归属表推翻了本编作者自己的先验判断。那一处是全编最值得读的地方，因为它证明这张表不是给已知结论贴标签。