定理 9.4 说 S 的每条特征都是 (D, E) 的函数，但没说是哪一个。归属要回答的是更细的问题：某条具体特征，它的成因主要坐落在 D 上，还是 E 上，还是二者的乘积上？
归属之所以不是文字游戏，因为它有一个当场可查的检验：
归属检验 若判定某特征归 D，则换掉 E 之后它应当不变；若判定归 E，则固
定 D 换掉 E 之后它应当翻面。
判错了，反例立刻出现。本章第三节给出五个这样的检验，每一个都可以在一页纸上算完；其中第四个推翻了本编作者原先的判断。
以下固定 D = D_B（第十章第二节的系数递推）。选它是因为它只用到环的加法、乘法与整数的可逆性，因此可以原样搬进任何特征为零的交换环——换 E 时 D 一个符号都不必改，这正是归属检验所需要的实验条件。
S 的特征 归属 检验方式奇函数 D 种子 a₀ = 0 使全部偶次项
为零；一切 E 中不变S 的特征 归属 检验方式振荡、无穷多零点 D 递推中的符号 −1；换成 +1
即得 sinh，E 未动sin² + cos² = 1 D 的首次积分 由递推本身导出；凡递推
可解处皆成立，含矩阵代
数有界，|sin| ≤ 1 D·E 的乘积 不变式来自 D，"平方非
负、二次型正定"来自 E整函数、收敛半径 ∞ E 完备性与赋值周期存在 D 轨道闭合，同构不变量周期数值 = 2π E 的归一化 剥掉单位选择后余下的不
变量是"轨道闭合"，不是
那个数加法定理 D ∧ E（交换性） 见反例四：直觉归属在此
被推翻sin(1) 超越 E（ℝ 与 ℚ 的纠缠） Lindemann 定理单调区间、凸性 E 的序结构 ℂ 上无序，该特征整条消
失S 是否存在 E（特征为零） 见反例三：char p 中递推
断裂
反例一 ℝ → ℂ：有界性翻面
D 不变，E 由实数域换为复数域。
由 sin z = (e^(iz) − e^(−iz)) / (2i)，取 z = iy（y ∈ ℝ）：
sin(iy) = (e^(−y) − e^(y)) / (2i) = (i/2)(e^(y) − e^(−y)) = i · sinh y。
故 |sin(iy)| = sinh|y| → ∞。数值上 sin(i) = i · 1.1752011936…
这个反例的价值不在"复正弦无界"这件众所周知的事，而在它暴露的机制。恒等式sin²z + cos²z = 1 在 ℂ 上仍然成立——它是 D 的首次积分，跟着 D 走。取 z = i·sinh y、w = cosh y，则
z² + w² = −sinh²y + cosh²y = 1，
等式成立，而 |z| 无界。于是结论很硬：有界性从来不是 D 给的。 D 给的是那条二次恒等式；把二次恒等式转成一条界，需要 E 额外提供"平方非负、二次型正定"这两件事，而 ℝ 有、ℂ 没有。归属表里那一行写"D·E 的乘积"，指的正是这个乘法。
反例二 ℝ → ℚ_p：整性翻面
D 不变，E 换为 p 进数域 ℚ_p（p 为素数，配 p 进赋值 |·|_p，完备）。
同一条级数 Σ (−1)^k x^(2k+1)/(2k+1)!。由 Legendre 公式，
v_p(n!) = (n − s_p(n)) / (p − 1)，
其中 s_p(n) 为 n 的 p 进数字和。故第 k 项的赋值为
v_p( x^(2k+1)/(2k+1)! ) = (2k+1)·v_p(x) − (2k+1 − s_p(2k+1))/(p−1)。
由于 s_p(2k+1) = O(log k)，该式趋于 +∞ 的充要条件是
v_p(x) > 1/(p−1)，即 |x|_p < p^(−1/(p−1))。
于是 sin 在 ℚ_p 上只在一个开球内有定义：p = 2 时 |x|₂ ≤ 1/4，p = 3 时 |x|₃ ≤1/3，p 大时球逐渐胀向单位球但永不到达。
"整函数"这条特征，是 ℝ 与 ℂ 借给 sin 的，不在 D 里。 递推一个符号未改，收敛半径从 ∞ 掉到有限。
反例三 特征 0 → 特征 p：存在性消失
D 不变，E 由 ℝ[[x]] 换为 𝔽_p[[x]]。
递推 a_(n+2) = −a_n / ((n+1)(n+2)) 要求 (n+1)(n+2) 在环中可逆。在 𝔽_p 中，当 p |(n+1)(n+2) 时不可逆。
p = 2：a₃ 需要除以 2·3 = 6 ≡ 0，第一步即断。
p 为奇素数：奇数下标链 a₁ → a₃ → a₅ → … 中，第一次出事在 n = p − 2（此时 n 为奇数，n + 2 = p ≡ 0）。而此时 a_(p−2) = (−1)^((p−3)/2)/(p−2)! ≠ 0，因为 (p−2)! 与 p互素。故 a_p 无法定出。
结论：在特征 p 中，不存在满足该递推与该种子的形式幂级数。S 根本不发生。
这就是第八章条款 ⓒ 的现场。F 是偏函数，而它的定义域"特征为零"本身是一条关于E 的结论——不是计算失败，是数学事实。归属表最后一行写"S 是否存在归 E"，指的是这个。
反例四 ℝ → M₂(ℂ)：加法定理失效，且直觉归属被推翻
D 不变，E 换为二阶复矩阵代数（级数在算子范数下绝对收敛，因 Σ||A||^(2k+1)/(2k+1)! 收敛）。先看什么活下来：sin²A + cos²A = I 仍然成立，因为它来自 e^(iA)e^(−iA) = I，而 iA 与−iA 交换。D 的首次积分不受影响。
再看什么死掉。取
A = [[0, 1], [0, 0]]， B = [[0, 0], [−1, 0]]。
二者皆幂零：A² = B² = 0。故 sin A = A、cos A = I、sin B = B、cos B = I，于是
右端 = sin A · cos B + cos A · sin B = A + B。
而 A + B = [[0, 1], [−1, 0]] 满足 (A+B)² = −I。由此 (A+B)^(2k+1) = (−1)^k (A+B)，代入级数：
sin(A+B) = Σ_(k≥0) (−1)^k (A+B)^(2k+1)/(2k+1)! = (A+B) · Σ_(k≥0) 1/(2k+1)! =sinh(1) · (A+B)。
左端 ≈ 1.1752 (A+B)，右端 = (A+B)，差 ≈ 0.1752 (A+B) ≠ 0。
（此处 AB = [[−1,0],[0,0]]、BA = [[0,0],[0,−1]]，确实不交换。加法定理成立当且仅当AB = BA。）
这一条是全章最重要的。 加法定理表面上只讲"差异如何复合"，因此直觉会把它整条记在 D 名下——本编初稿正是这样写的。矩阵代数把它推翻了：交换性一直在暗中做工，一撤走就塌。正确的归属是 D ∧ E（交换性）。
一张能推翻自己先验判断的表，才是有内容的表。若归属表只会为已知结论重新命名，它就该被丢掉。
反例五 换尺度：2π 不是内禀的
ℝ 作为裸拓扑群没有典范单位：每个非零 λ 给出自同构 σ_λ : x ↦ λx。
令 s_λ := sin ∘ σ_λ。则 s_λ 满足 y″ = −λ²y、y(0) = 0、y′(0) = λ，周期为 2π/λ。取 λ =2π，周期即为 1。
因此：周期的存在是同构不变量（轨道闭合，跟着 D 走）；周期的数值是轨道相对于所选归一化的量，跟着 E 走。剥掉单位选择之后剩下的不变量是"这条轨道会回到起点"这一事实，不是那个数。
这不是说 2π 可以随意。它是 D 的种子与 E 的度量之间的一个比值——两边都固定，它才固定。归属表里写"E 的归一化"，说的是这个比值的分母在 E 手里。
五个反例排成一列，可以读出归属表的工作方式：
• 判 D 的（奇性、振荡、首次积分、周期存在）在全部五种 E 下不变；
• 判 E 的（有界、整、序性质、存在性）在换 E 时逐条翻面，且翻面的方向与预
言一致；
• 判 D·E 的（有界性、加法定理）在换 E 时翻面，但翻的是 E 那一半，D 那一半
原样保留——反例一与反例四把这个"半塌"看得最清楚。
这就是归属表比定理 9.4 更值钱的原因：定理只保证"是二者的函数"，归属表还预言换掉哪一个会出什么事，因而每一行都可以被单独证伪。