第十六章的表里藏着一个规律，值得单独提出来。
位值制把计数从 Θ(N) 压到 Θ(log N)。代价是什么？在逐一记号里，“把两堆合起来”就是把两串记号并排——完全局部，没有任何位与位之间的相互作用。位值制之后，加法需要进位：某一位的结果可能影响更高位。局部性没有完全丧失，但已经打了折扣。
再往上一层，情况更明显。位值制下的加法，结果的第 i 位只依赖两个加数第 i 位附近有界多位（含进位链）；而位值制下的乘法不局部——乘积的第 i 位依赖两个因数所有位的乘积之和。这就是为什么竖式加法是 Θ(n) 而竖式乘法是 Θ(n²)，也是为什么快速乘法必须借道傅里叶变换。
再上一层。幂把重复乘法压成了 Θ(1) 的符号，代价是：加法在幂表示下完全不局部。aᵐ 与 aⁿ 相加没有任何化简规则；而在压缩之前，重复加法与重复乘法都在同一个加法制度里。于是有：
先给一个工作定义。
定义 17.1（局部）. 设某表示把对象写成符号串。称二元运算 ∘ 在该表示下
局部，若结果的第 i 个符号只依赖两个操作数第 i 个符号附近有界多个符号
（允许有界长度的进位传播）。
命题 17.1（压缩—局部性权衡）. 一次压缩型发生若把旧 D 的代价降阶，则
旧 D 中至少有一个运算在新表示下丧失局部性；恢复该局部性需要一次新的
发生——或是又一次表示改造，或是一套新的近似制度。
直观论证. 若旧 D 的全部运算在新表示下都保持局部，则新旧两个表示在局部意义下互相模拟，每一步的代价至多相差常数因子，总代价不可能降阶。降阶必须来自“用更少符号承载同样信息”，而更少的符号意味着单个符号承载了更多原信息，于是原本互不相干的位之间产生了依赖——这正是非局部。∎（直观）
［证据分级：命题 17.1 属第二层。上面的论证给出了机制，但“局部”的定义依赖于表示的选取，一个完全严格的陈述需要把“表示”形式化为一类编码并给出信息论式的下界。本书不声称已完成这一步。］
验证一（位值制 → 竖式乘法与九九表）. 位值制压缩计数，乘法随之非局部。修复方式是发明一套 D2 流程：竖式乘法把非局部的运算拆成 n² 个局部动作再求和，九九表把最小的那批局部动作制成查表。九九表不是记忆负担，它是位值制压缩的利息。
验证二（幂 → 对数）. 幂压缩重复乘法，加法随之在幂表示下彻底非局部。修复方式是对数：把乘法搬进加法，从而在对数表示下乘法重新局部。代价立刻显现——对数值一般不是有理数，表示不再有限，必须引入对数表与近似制度。这一步同时逼出了第十九章要讲的扩张（有理数不够用）。
验证三（小数 → 循环节与实数）. 小数把分数比较局部化，代价是许多分数的小数表示不再有限（1/3 = 0.333…）。修复方式是循环节记号；而当循环节也不够用时（无理数），逼出的是完备化。
三条验证有同一个形状：压缩 → 局部性亏损 → D2 流程被发明 → 若 D2 修不好，则逼出下一次扩张。
它把第一编的一个观察升格为机制。第一编说“新 S 进入新 E 之后需要发明 D2 流程”，那是一句正确的描述，但它没有说明为什么必然需要。命题 17.1 给出了理由：D2 不是新 S 的附属品，它是为修复压缩造成的局部性亏损而被迫发明的。竖式、通分、约分、移项、配方、消元、求导法则——每一样都可以按这条线索去问：它在修复哪一次压缩造成的哪一处非局部？
失败标准. 找到一次压缩型发生，其后旧 D 的全部运算仍然局部，且未引入任何新的近似制度或新的 D2 流程。举出这样一例，命题 17.1 即被推翻。