第二十四章 伞：定义与伞场

一、定义

定义 24.1（伞）. 一把伞是一个三元组 (x, ω, r)：中心 x ∈ ℝᵈ，半径 r > 0，

权函数 ω: ℝᵈ → [0, ∞)，满足 ω(y) = 0 当 |y − x| > r。

定义 24.2（伞场）. 伞场是一族伞 {(x_i, ω_i, r)}，允许 ω_i 与 ω_j 的支撑重

叠。若进一步要求

Σ_i ω_i(y) = 1 对几乎所有 y ∈ Ω

则称该伞场为单位分解型的。

本书的伞是第 53 号那个伞的单参数截面。 第 53 号的伞带三个参数——半径 r、重叠度ω、传播速度 v——并由 N = r·ω/(v·T_c) 判相；在那里，传统数学是r→0、ω=1、v→∞ 的三重退化。本书只动其中一重（r→0），把 ω 与 v 固定，换来的是一条带显式常数与收敛率的定理（第二十六章）。这是一次收窄，不是一次推广，读者不应把本编当作伞模型的完整陈述。

单位分解不是相容性的恢复，是相容性的连续松弛：剖分要求每个点属于且只属于一个块（权只能取 0 或 1），单位分解只要求权之和为一（权可以在多把伞之间分配）。剖分是单位分解的一个特例——把权限制在 {0,1} 上。

这一句是整编的枢纽：

伞不是对剖分的否定，是把剖分的取值域从 {0,1} 放宽到 [0,1]。

所有基于剖分的经典结论都保留在伞的世界里，作为权取端点的那一层；新增的是权取内点的那一层。

二、为什么叫伞

雨伞的两个性质恰好对应所需的两条：它有一个中心（伞柄）与一片有限的覆盖（伞面），并且两把伞可以叠在一起而不必打架——重叠区被两把伞同时遮住，不需要划一条线把它分给谁。

划一条线把重叠区分给谁，正是相容性公理要求做的事。伞的做法是不划。

三、伞与既有对象的关系

必须说清楚，伞不是一个新对象。它在既有文献中已有多个名字：

既有名字               出处             与伞的关系
核函数 / 光滑核          核密度估计、SPH      单把伞的权函数
单位分解               微分几何、有限元       单位分解型伞场
有限覆盖               拓扑             去掉权的伞场
 既有名字                       出处                   与伞的关系
 影响域                        无网格法                 伞的支撑
 非局部相互作用核                   非局部向量微积              伞的权函数
                            分、peridynamics

本编取"伞"这个名字，不是因为对象是新的，而是因为需要一个词把上面五行当成同一件事来谈，并且把它与它所替代的那条公理放在同一句话里。命名的功能是让对照可见，不是宣称发现。