1962 年的一项工作，是本书第一编第二章那张四格表的格 III 的教科书实例，而且是最干净的一个。
1958 · 丢番图逼近（Roth）. 代数数被有理数逼近的精确指数。
判定：解决型。 Thue–Siegel 一系的老问题，Roth 给出最终指数。
1958 · 配边理论（Thom）. 把“两个流形是否同为某个流形的边界”这一关系变成一个可计算的代数对象。
判定：通道一的局部化型 ＋ 第四通道余味。 它把一个几何判定搬进同伦论，
使不好算的变成好算的；同时它也提供了一套新的说法。
1962 · 线性偏微分算子（Hörmander）. 把一大批分散的存在性与正则性结果组织进一个统一的算子理论。
判定：通道一。 签名 A 成立——它把大量分别成立的结果压缩成一套统一的
判据；表达域没有扩大。
1962 · 七维怪球（Milnor）. 与标准七维球面同胚但不微分同胚的流形存在。
判定：通道二，且是全编最干净的一例。
签名 B1（年代可指认）：在此之前，“一个拓扑流形上的光滑结构是否唯
一”不是一个数学问题——不是无人有能力问，而是默认它唯一。 签名
B2（旧办法不亏损）：微分拓扑当时运行良好。 签名 B3（旧环境不失
紧）：没有任何一族算子不封闭。
回到第一编第二章的四格：D 不变（都是流形上的微分结构），E 变（换一个光滑结构），S 的特征翻面。
在 Milnor 之前，人们默认“拓扑流形”这个显露已经把一切定死了。之后才知道：同一个拓扑显露可以承载不止一个光滑环境，而这两个环境里的可行路径与刚性完全不同。
这是第一编第七节那句话在二十世纪数学中最有名的一次兑现：换一个环境，同一个对象上“这条曲线直不直”的答案会变。Milnor 说的是同一件事的高维版本。