判断卡片：布劳威尔是唯一一个在数学内部、用数学家的方式、并且真金白银地付出了代价来打这一仗的人——他宣布数学对象只在被构造出来时才存在，并据此拒绝了大批经典定理。但他把构造的源头安放在一个孤独主体对时间的原始直观上，又宣布数学在本质上是无语言的；于是他在赶走了对象一侧的先在之后，在主体一侧立起了一个更不可追问的先在，并且亲手切断了它被传递的可能。
前两章那两位是哲学家。布劳威尔不是——他是二十世纪最好的拓扑学家之一，不动点定理、维数不变性、区域不变性都是他做出来的。这一点在本章至关重要，因为它决定了这次进攻的性质：
这不是一次从外面对数学的批评，这是一次从里面动手的改造，而且改造者要为改造承担损失。
他的主张可以压成一句：一个数学对象存在，当且仅当它能被构造出来。 不是"我们能证明它不可能不存在"，是"我们能把它做出来"。数学不是对一个先在王国的探索，而是心灵的一种构造活动。
由此立刻推出一件让当时的数学界无法接受的事：排中律在无穷的场合失效。
这一步要说清楚，因为它常被误传为"布劳威尔认为逻辑错了"。他的意思很具体。"要么 P，要么非 P"这句话，在你能逐个检查完的有限场合当然成立。但当 P 说的是关于无穷多个对象的某件事时，" 要么 P 要么非 P"这句话背后其实藏了一个承诺：存在一个办法，能判定到底是哪一个。 而在无穷的场合，这个承诺没有兑现的保证。于是那些形如"假设不存在，导出矛盾，所以存在"的证明，在他看来什么也没有造出来—— 它们证明了"不可能没有"，而不是"这里有一个"。
请注意，这与本书母题的第一部件是同一个动作，只是发生在数学内部：他要求把结论还原为构造它的那条路径，并拒绝承认一条没有路径的结论。
一位哲学家提出这样的主张，代价是零。布劳威尔的代价不是零。
他必须放弃一大批经典定理，或者把它们改写成弱得多的形式。选择公理的很多用法没有了；实数的三分律（任一实数大于零、等于零或小于零）在直觉主义里不成立；大量存在性定理只剩下否定形式。而最刺眼的一件事是：
他自己那个最著名的定理——布劳威尔不动点定理——用的正是他后来所拒绝的那类论证，在直觉主义的意义上它不成立。
这不是一个可以一笔带过的细节。一位数学家亲手推翻了自己成名作的证明方式，并且此后不再用那种方式做事，这在数学史上极为罕见。本书对布劳威尔的全部敬意在此：他不是在批评别人的房子，他先拆了自己那间。
后来发生的事同样值得记一笔。他与希尔伯特之间那场被称为"基础之争"的冲突，最终以一种很不体面的方式收场：希尔伯特把他从《数学年刊》的编委会里除名了。一次真正的范式冲突，在这场争论里第一次以人事的方式结束。
那么这次进攻为什么在本书看来仍然输了整体？
因为一个必须回答的问题：如果数学对象是被构造的，那么构造依据什么？ 构造不能凭空，它总得有一个起点、一个最原初的动作。
布劳威尔的回答是：时间的原始直观。 心灵经历一个瞬间落入过去、另一个瞬间到来，由此产生"二一性"——两个东西被把握为一个整体又保持为两个。这是一切数学构造的源头：从二一性生出自然数序列，再生出一切。
请把这一步与第七章并排。亚里士多德把先在从世界赶走，它从努斯那里走了回来。布劳威尔把先在从数学对象那里赶走，它从时间的原始直观那里走了回来。而这个新户头比努斯更难攻——它不是一种能力，它是一切经验的形式，任何要检验它的动作本身都已经在它里面了。
于是编二的那条判断第二次出现，而且更清楚：每一次反攻在它取胜的那一处，都必须为自己另立一个先在。
这不是偶然。如果你否认对象是先给的，你就必须说出是什么在构造它；而无论你说出什么，那个东西都会被提升为不再被追问的起点。 问句要求一个来源；把来源从对象一侧搬到构造者一侧，来源仍然是来源。
如果只有上一节那一条，布劳威尔的处境与亚里士多德相同。但他还做了一件别人没做的事，而这件事对本书尤其重要。
他坚持：数学在本质上是无语言的活动。 数学是心灵内部的构造；语言只是对它的一种不完全的、事后的、必然失真的记录；数学的确定性在构造本身之中，不在任何符号系统里。他甚至认为，把数学等同于形式系统正是一切混乱的根源。
这一条在他的框架内完全一致，而且它有一个真的洞见在里面——本书第五编第五章那句"证明可以封存，看懂不能代办"，说的正是这件事的一半。
但它的后果是灾难性的，而且后果的形状恰好是本书的主题。
如果数学是无语言的心灵构造，那么它如何从一个人到达另一个人？布劳威尔没有回答，而且按他的立场，这个问题在原则上不可能有好的回答——任何传递都要经过语言，而语言必然失真。他的追随者极少，他的著作以晦涩著称，他的直觉主义在他身后主要是靠海廷把它形式化成一个演算系统才活了下来。
而海廷做的事，恰恰是布劳威尔不同意的那件事：把它写成语言、写成可以传下去的形式。
这里要记下本编最锋利的一处对照：布劳威尔正确地看到，一个数学对象必须在每个人那里被重新构造一遍；他随即宣布这件事不能被语言承载。于是他给出了一个正确的诊断，同时取消了任何处方的可能。
本书编六那道工序，正是要在他放弃的那个位置上继续。而本书与他的分界很清楚：不可递送的是构造，可递送的是引发构造的条件——困境、路径的落脚点、以及那个逼人非走不可的缺口。第五编第八章会论证，教师的全部技艺都落在这一处。 布劳威尔说的"递送不了"是对的，他没想到的是，递送不了的东西可以被引发。
诚实起见记一条。
直觉主义在数学界基本上被搁置了，原因不是哲学上被驳倒，而是它太贵。放弃了那些定理之后，剩下的数学做起来极其吃力，而经典数学在同样的时间里造出了大量有用的东西。绝大多数数学家的选择不是"布劳威尔错了"，是"这个代价我付不起"。
这对本书是不利的证据，因为本书全书主张"还原路径"，而直觉主义正是把这个主张在数学内部推到极限的一次尝试，结果是它在实践上败给了不还原路径的那一方。
本书的应答有两条，而且要写在明处。
第一条：直觉主义与本书主张的不是同一件事。他要求的是数学本身只承认构造性的结论——这是对知识内容的限制。本书要求的是在把一个已有的结论交给一个新人时，把它的困境与路径一并交出——这是对呈现次序的要求，不改动任何一条定理的成立与否。一个用最经典、最非构造的方式证明的定理，照样可以被去光滑化地教。 两件事在代价上完全不同：他的代价是失去定理，本书的代价只是多花课时。
第二条：他的失败反而是本书的一个证据。当"必须自己构造出来"被提升为对知识内容的要求时，它太贵而不可行；当它被限制为对呈现次序的要求时，它便宜而可行。 这个对比说明，问题从来不在"构造"这个概念上，而在它被安放在哪一层。布劳威尔把它安放在了本体层，本书把它安放在传递层。
要看清布劳威尔的代价有多真，最好的材料不是他的哲学论文，是他自己那个定理的两种命运。
不动点定理：把一个闭圆盘连续地映到自身，必定有一个点被映到它自己那里。这个结论今天在博弈论、经济学均衡、微分方程里被大量使用。
经典的证明是这样的：假设没有不动点，那么每一点都可以沿着"它到它的像"这条方向连出一条射线，射线交边界于一点，于是得到一个把圆盘连续映到边界的映射；而这样的映射不存在（否则圆盘可以被连续地收缩到边界，与拓扑性质矛盾）。 所以不动点存在。
请看这个证明的形状：它假设不存在，导出矛盾，于是宣布存在。 它自始至终没有告诉你那个点在哪里，也没有给出任何逼近它的办法。
而这正是布劳威尔后来所拒绝的那一类论证。按他的标准，这个证明证明了"不可能没有"，而不是"这里有一个"——它没有造出任何东西。
于是那个定理在直觉主义里不成立。 更准确地说：那个一般形式不成立；后来的构造性数学能证出的是弱得多的东西——比如对任意精度，你能找到一个"几乎不动"的点，而这与"存在一个真正的不动点"不是同一句话。
一位数学家，把自己最著名的成果的证明方式判为不合法，此后不再用它。
这一节要记的不是这件事有多悲壮，而是它在本书的论证里承担什么：它证明了布劳威尔那套主张的代价是真金白银的，因而他不是在提一个便宜的哲学立场。 编二从头到尾在说"六次反攻各自赢在局部"，而只有这一次，赢的人当场付了账。
有一条反读，而且它对本书比对布劳威尔更不利。
反读是这样的：本书说自己"只管呈现次序，不管知识内容，所以代价只是多花课时"——这个便宜是不是占得太轻巧了？
具体地问：一个概念若被要求"必须在每个学习者那里带着困境与路径重新发生一次"，那么那些在原理上没有直观路径可走的东西怎么办？高维空间、超限基数、不可测集、选择公理——这些东西没有一条可以让十岁孩子亲自走通的粗糙路径，而它们是真正的数学。本书的工序在这些地方是不是根本无处落脚？
本书承认这个反读击中了一个真实的边界，并给三条回应。
其一，本书的适用范围本来就写明了（编六第三十四章第二节）：小学与中学的数学学习者。上面那些对象不在范围内，本书对它们不作主张。
其二，即使在那些对象上，困境仍然可以还，只是路径不能。 选择公理没有直观路径，但"我们需要从无穷多个非空集合里各取一个，而没有规则告诉我们取哪个 "这个困境，是可以完整摆出来的。编六第三十章那条区分在这里派上用场：困境常可原样还，路径几乎总要重铺——而在这一类对象上，路径可能重铺不了。 那时能做的只有前一半，本书不假装能做全。
其三，也是最要紧的一条：这个边界恰好与布劳威尔那一次失败同源。 他要求一切数学对象都必须可构造，代价是失去大批定理；本书若要求一切数学对象都必须可被学习者走通，代价是失去大批内容。两者是同一个错误在两个层上的形态，而本书之所以能避开它，正是因为它把要求限定在呈现次序上、并且承认有些内容只能被讲授。
一本主张"要还原路径"的书，必须承认有些路径还不了。 承认这一点，本书才不会重蹈第五节那次失败。
布劳威尔是这场争论里唯一一个自己出钱的人。他证明了发生论在数学内部可以被认真对待，也证明了把它当作本体主张的代价有多重。
下一位不碰本体。他做的是一件谁也没做过的事：他把"发生"这件事变成了可以被观察、被记录、被复核的东西——他去看孩子。