判断卡片：这一组之所以两百年不决，是因为"实在论"与"建构论"各自都可以指两件事——关于命题的真值，与关于知识如何来到一个人身上。四种组合里有两种是自洽的、两种是混淆的，而争论双方大量地占据着混淆的那两格，并且在被追问时换格。本书的位置很明确：命题一侧不裁决，接收者一侧彻底发生论。
编三第十三章第七节与编四第二十二章第五节两次立过同一道挡板。本节要把它从一道挡板变成一张表。
任何一个关于知识的立场，实际上都要同时对两个不同的问题表态：甲问（命题一侧）：一个数学命题的真值，依赖不依赖人？乙问（接收者一侧）：一件知识来到一个人身上，是一个接收过程，还是一个重新发生的过程？
两问互相独立。甲问的答案不能推出乙问的答案，反过来也不能。 而"实在论""建构论"这两个词，在实际使用中同时被用来回答这两问，且使用者往往不说明自己在回答哪一个。
于是有四格：
甲：真值不依赖人 甲：真值依赖人乙：接收 格一 经典发现派 格三 混淆格乙：重新发生 格二 本书 格四 强建构论
格一（真值不依赖人 ＋ 知识是被接收的） ：编一那六位全在这里。立场自洽，本书对它的全部异议只在"乙"那一栏，与"甲"无关。
格二（真值不依赖人 ＋ 知识是重新发生的）：本书在这里。 命题一侧接受弗雷格那条分界，不打折扣；接收者一侧彻底发生论。这一格在文献里出人意料地空——它既不满足实在论者（因为它在教学上与建构主义站在一起），也不满足建构论者（因为它拒绝把真值也交出去）。
格三（真值依赖人 ＋ 知识是被接收的） ：这一格看似古怪，但它有真实的居民——那些认为数学是人类约定的产物、因而不必追问其必然性，同时在课堂上每一章从定义开始的人。约定论加讲授法，是一种相当常见的组合，而且它内部并不融贯：如果这些东西是人约定的，为什么不能让学生看见那次约定？
格四（真值依赖人 ＋ 知识是重新发生的） ：强建构论。编二第八章的维柯是它的先祖，第十二章那条社 会建构的线是它的现代形态。 自洽，但代价极高 ——它必须承担"2+2=4 在什么意义上为真"这个问题，而这个问题不好承担。
现在可以指认那件使这场争论无法收敛的事了。
争论双方大量地占据格三与格四，并且在被追问时换格。
一个典型的来回是这样的：
建构论者说"数学知识是被建构的"（听起来是格四）。实在论者反问：" 那 2+2=4是不是被建构的？如果我们建构成 5 呢？"建构论者答："我不是说真值，我是说我们对它的理解与表述是被建构的"（退到格二）。实在论者于是说："那我们没有分歧"。可是下一轮，建构论者又说"科学事实是被制造出来的"（回到格四）。
反方向也一样。 实在论者说"数学对象是被发现的"（格一）。建构论者反问："那为什么找到负数用了一千年，而且当时的人说它荒谬？ "实在论者答："发现难不等于不存在"（守在甲栏）。建构论者说："那你承认学习者要重新建构它？"实在论者答："当然，教学当然要循序渐进"（滑进乙栏的发生论一侧，即滑进格二）。可是他的课本仍然从定义开始。
两边都在换，两边都不觉得自己在换，而且每一次换都是真诚的——因为那两个词本来就同时指两件事。
本书前面各编收集的三个标本，正好各占一格，而且都能说明这个混淆的代价。
哥德尔（编一第六章） 。他在甲栏是最坚定的实在论者，在乙栏也是——数学直觉如同感知。但当被追问"两位同样杰出的数学家看见了不同的东西怎么办"时，他寄望于新公理的成效来间接裁决。"看成效"是一条后验的、发生学的判据，不是直觉的判据。 在最要紧的地方，最坚定的先在论者不得不借用发生论的尺子——这是格一居民向格二的一次不自觉的滑动。
维柯（编二第八章）。他从"我们造了它"（乙栏的发生论）直接推出"所以它只关于我们"（甲栏的依赖人）。这一步是把乙推给甲，而这两问互相独立，推不过去。他用一整套本可以站在格二的洞见，把自己送进了格四，并因此不能参加这场争论。
拉图尔与伍尔加（编二第十二章）。他们的机制描述完全落在乙栏（一件事实在稳定过程中失去了什么），而"社会建构"这个标签把它读成了甲栏。二十五年后他自己公开担忧这套工具被用歪——被用来否认气候变化这类有充分证据的结论。那次担忧的实质就是这一节：他做的是乙栏的工作，被人当作甲栏的结论用了。
三个标本，三个方向的滑动，而没有一位察觉自己在滑。
本书选择格二，不是取中间路线，是因为离了甲栏那条分界，本书立不住。
编一第五章已经写过：如果没有"命题的真"与"知识的来"这条分界，本书关于"先在感是被制造的"这个判断，会立刻滑向"数学真理是被制造的"，而后者一旦成立，本书的全部判断都会被正确地归入相对主义而作废。
一本主张"知识的到来是一个过程"的书，恰恰需要弗雷格那条线来保护它不滑进相对主义。 这是本书与弗雷格的真实关系：不是对立，是他守着本书的后门。
反过来说，本书对格一居民也没有敌意。一位柏拉图主义者完全可以接受本书的全部内容——他只需承认，无论那些对象是否先在，对课堂上这个具体的孩子而言，凡是没有在他那里带着困境与路径发生过的对象，就等于不存在。教学面对的是发生，不是本体。
给一条便宜的检验，用来判断一场关于建构与实在的争论是否值得继续：问双方一句：你说的是命题的真值，还是知识如何来到一个人身上？
若双方给出的答案落在同一栏，争论有实质，可以继续。
若一方在说甲、另一方在说乙，争论是空的，应当当场拆成两场。
据本书的观察，绝大多数这类争论属于后者。
本章那张四格表是编五的收口，而它有一个明显的把柄。
反读是：这张表把两个复杂的传统压成了两个二值变量，而真实的立场分布远比这四格细。
具体地说，"甲：真值依赖不依赖人"这一栏，实际上至少要分成：真值完全独立于任何心灵／依赖于人类的语言约定但不依赖于个人／依赖于共同体的实践／依赖于个体的构造。结构主义、约定论、虚构主义、直觉主义、各种自然主义在这一栏里落点各不相同，而本表把它们一律压成"依赖／不依赖"两格。 一张压缩到这个程度的表，画得出，但它裁决不了任何一场真实的争论。
本书接受这个指控，并做两处说明。
第一处说明：这张表的用途不是分类，是诊断。
它不用来给一个立场定位，它用来做第六节那一件事—— 当两个人在争论时，问一句他们说的是哪一侧。 而做这件事只需要两格，不需要五格：只要能判断双方是不是在说同一侧，这张表就完成了它的工作。
用一个比喻：这是一把只能量"是不是同一根轴"的尺子，不是一把能量出具体位置的尺子。它粗，但它粗的方式与它的用途匹配。
第二处说明，也是一处让步：这张表对本书自己的定位可能也过于干净。
本书把自己放在格二（真值不依赖人 ＋ 知识是重新发生的）。但严格地说，本书在甲栏其实没有立场——它只是接受弗雷格那条分界作为一道挡板，而 "接受一条分界作为挡板"与"主张真值完全独立于人"不是同一件事。
准确的说法是：本书在甲栏弃权，并且要求自己的全部结论在甲栏取任何值时都成立。
而这一条恰好是本书对自己的一条检验，编六第二十九章第五节写过它的一半，这里补全：凡本书的某条结论，若在甲栏取不同答案时成立与否不同，则那条结论偷偷用了甲栏的立场，须重写。
读者可以拿这一条去查本书任何一章。 本书自查过一遍，未发现违反；但自查不算证明，这一条是交给读者的第十二个可被击中的位置。
四组对峙改判完毕。下一节要说明这四次改判用的是同一把尺子，以及这把尺子从哪来。
编末小结：四次改判用的是同一把尺子
组 原来的问法 改判发现／发明 这个对象是被发现的还是被发明 不含裁决信息；问句本身是那道
的 工序的产物先天／后天 必然性来自天赋还是来自经验 必然性在路径里；两派共用"经
验＝被动印象"这个未检验的前
提传授／探究 该讲还是该让学生自己探 判据是回写，不是动静；争论被
搬到了可见变量上实在论／建构论 知识是发现的还是建构的 两侧必须分开；双方大量占据混
淆格并在被追问时换格
四次改判看起来处理的是四件不同的事，实际用的是同一把尺子，而且它可以写成一句：
一个问句若不能指定它问的是命题一侧还是接收者一侧，它就不会有答案。
逐组核一遍：· 第一组问"这个对象从哪来"——它问的是对象，属命题一侧；而它唯一可能的证据
（那种"它本来就在"的感受）来自接收者一侧。证据与问题不在同一侧，故不可裁
决。· 第二组问"必然性从哪来"——必然性属命题一侧，而"我凭什么知道它必然"属接收者
一侧。两派各守一侧互相攻击，故僵持。· 第三组问"该讲还是该探"——它把一个接收者一侧的问题（改写有没有发生）换成了
一个可见的操作问题（课堂动静），连侧都换掉了。· 第四组最直接：两个词同时指两侧，故双方可以在不改变措辞的情况下换格。
四组，同一处误置的四个面。
它不是本书为了收编这四组而临时打造的。它来自编四。
编四第二十一章证明了一件事： 争论双方都带着同一条元层规则进场——这类东西总得有一个来源。 这条规则不是他们论证出来的，是每天被写进去的；而它的语法要求一个主语，于是双方各自去找一个主语，一个指对象，一个指构造者。
而这条规则完全不区分两侧。 它管的是"这类对象与我的底盘的关系"，它既不问真值，也不问认识论——它只规定"不必改"。一条不区分两侧的规则，塑造出的争论必然也不区分两侧。
于是本编的承重发现可以写出来：
这四组对峙不是四个未解之谜，是同一条元层规则在四个领域留下的四个印子。
部件一（发现是发生的一个时相） ：第二十五章把它落成了可判决的形式——两个立场对任何可观察的事情都不作出不同的预测，因为它们指的是同一件东西的两个时相，而不是两件不同的东西。
部件二（争论争的是一份归属错觉，且不可裁决）：这一编就是这一部件的完整证成。编一编二给了历史材料，编三编四给了机制，本编把它兑现成四组具体的改判，每一组都给出了不可裁决的确切位置。
部件三（代价在下一次）：第三组是这一部件在实践上最直接的兑现。一场关于不可见变量的争论被搬到了可见变量上进行，于是无论争论谁赢，那个真正的变量都可以完全不动——半个世纪里那些来回摆动的课程改革，代价全部落在了每一批经过它们的孩子身上。
若能构造出一个可观察的场合，使得"数学对象先在"与"数学对象被造出来"这两个立场对该场合作出不同的预测（无论是关于数学实践、数学史、还是关于学习），则第二十五章"不含裁决信息"的判断被推翻，第一组恢复为一个实质问题。
本书作者已尽力寻找而未找到。最接近的候选是直觉主义（编二第九章），因为它确实改变了什么算合法证明；但那是一个关于逻辑规则的分歧，不是关于对象出身的分歧——一个人可以是柏拉图主义者兼直觉主义者，也可以反过来，两种组合在历史上都有实例。
四组改判做完，问句就空出来了。本书拆掉了一个提了两千五百年的问句，就有义务给出替换它的那个。
编六要给的是：不问归属，问工序。 而这个更换有它自己的代价，第二十九章第一件事就是把代价说清楚。