本章要做的事：把第一章第二、三节那两条路径推到底，直到得出三条可以为假的命题。全章的数字都可以在一页纸上复算，半径 r = 1，直径 d = 2。
同一个圆，同一个欧氏平面。两条逼近路径：
路径一 · 从里面。 内接正 n 边形，顶点全在圆上。
路径二 · 从外面。 外切正方形，反复把每个凸角折进去顶到圆上。
两条都在计算同一个圆的周长。结果：
周长 周长 ÷ 直径 路径一，n → ∞ 2π = 6.283185 3.1415926 路径二，任意层 8.000000 4
差 1.716815，相对差 27.32 %。
内接正 n 边形每边是一条弦，对应圆心角 2π/n，边长 2r·sin(π/n)，故周长
P(n) = 2n · sin(π/n). n 周长 ÷ 直径 6 6.0000000 3.0000000 24 6.2652572 3.1326286 96 6.2820639 3.1410320 1 000 6.2831750 3.1415875 →∞ 6.2831853 3.1415926
n = 96 是阿基米德做到的那一步。
折角操作是这样的：在第一象限取角度分点，每两个相邻分点之间，锯齿先沿竖直方向走，再沿水平方向走，接到下一个分点。折一次，分点加密一倍。
关键在于这个操作对什么量不变。
绕圆一周，锯齿的全部水平位移之和恒为 4（每象限 1），全部竖直位移之和恒为 4。而锯齿的长度就是这两个总和相加，因为它每一步只走水平或竖直。
折角只是把一段水平和一段竖直换个次序。两个总和都没变。 所以周长与折
了多少次无关，恒为 8。
这一段不需要任何计算，只需要看清“折角是重排，不是缩短”。
上一节的论证是组合的。同一个结果可以由积分给出，而且这条算法会直接引出本章的诊断。
在圆上取参数 φ，切向为 (−sin φ, cos φ)。锯齿在该处把弧元 ds 拆成两段：
• 竖直段，长 |cos φ| · ds
• 水平段，长 |sin φ| · ds
（φ = 0 时圆在 (1, 0) 处正朝上运动，故此处全是竖直段——竖直段对应 |cos φ|，不是 |sin φ|。这一处极易记反。）
于是锯齿的总长
∫[0, 2π] ( |cos φ| + |sin φ| ) dφ = 4 + 4 = 8,
而圆的总长
∫[0, 2π] 1 dφ = 2π = 6.283185.
两个积分都可以一行算完：|sin| 与 |cos| 在一个周期上的积分各等于 4。
所以 8 不是误差。它是同一条曲线在 ℓ¹ 度量下的准确长度。 顺带得到一个副
产品：在出租车几何里，π 恰好等于 4。
若锯齿只是“不够像”，这一切就没有意思。它非常像。
面积层。 锯齿包围的面积 → π：
层数 k 段数 包围面积 与 π 之差 2 32 3.45929219 3.177 × 10⁻¹ 6 512 3.16582218 2.423 × 10⁻² 10 8 192 3.14312540 1.533 × 10⁻³
点集层。 锯齿到圆的 Hausdorff 距离 → 0：
层数 k / 边数 n 锯齿 d_H 内接正 n 边形 d_H 6 / 64 1.219 × 10⁻² 1.205 × 10⁻³ 10 / 1 024 7.667 × 10⁻⁴ 4.706 × 10⁻⁶ 12 / 4 096 1.917 × 10⁻⁴ 2.941 × 10⁻⁷
而在这全部过程中，锯齿的周长一个数位都没有动：第 12 层仍是 8.0000000000。
上表的左右两列都趋于零。于是：
两条序列的 Hausdorff 极限，都恰好是单位圆 { x : |x| = 1 }。
不是“几乎相同”，不是“相差一个零测集”，是同一个集合。
这一句是全章的支点。它把这对反例从“一个有趣的现象”提升为一条逻辑：
若“沿逼近序列读出的长度”只由极限点集决定，那么两条序列必须给出同
一个数。 它们给出 2π 与 8。 故它不是极限点集的函数。 ∎
点集层并非什么都不给，它给一个不等号，而且是一条经典定理：
Golab 半连续定理. 若紧连通集列 Kₙ 在 Hausdorff 距离下收敛到 K，则
ℋ¹(K) ≤ liminf ℋ¹(Kₙ).
代入本例：
2π = 6.283185 ≤ 8 ✓不等号严格成立，一点矛盾都没有。你要的等号从来没有被承诺过。
面积层给的是同一个形状的东西：集合的 L¹ 收敛下，面积连续（|Eₙ| → |E|），而周长只下半连续。两层都只给不等号。
前两层看不出差别。差别在第三层。
其一，切向不收敛，而且差距有一个与层数无关的下界。
锯齿的切向永远只有水平与竖直两种取值，圆的切向连续地扫过一整段角度。二者的距离：
sup ‖ t(锯齿) − t(圆) ‖ ≥ 0.765367，
在 φ ≈ π/4 处取到，对一切层数 k 成立。层数翻到多少都不动。
所以锯齿在切向那一层根本不是柯西列。它不是被一条规则筛掉的，它压根
不在那个空间里。
其二，切向也不是乱跑——它以测度收敛。
在每个 φ 处，极限不是一个切向，而是一个切向的分布：
极限速度 |cos φ| φ 竖直段占比 水平段占比 +|sin φ| 0 1.0000 0.0000 1.000000 π/6 0.6340 0.3660 1.366025 π/4 0.5000 0.5000 1.414214 π/3 0.3660 0.6340 1.366025 π/2 0.0000 1.0000 1.000000
竖直段占比 = |cos φ| ÷ (|cos φ| + |sin φ|)。
这正是“相邻两段怎么接”这件事在极限处的样子：接成竖直还是水平，不再有唯一答案，只剩一个比例。
这类对象在文献里有名字：参数化测度，通称 Young 测度——专为“振荡在强拓扑下没有极限”而造。
于是本章那句要紧的话：
在切向有定义的那个空间里，锯齿的极限不是圆。
极限是「圆 ＋ 一层切向振荡」这个复合对象。而这个对象的长度，正是
∫[0, 2π] ( |cos φ| + |sin φ| ) dφ = 8。
验算：按圆的参数 φ 度量，锯齿在任意子区间上的长度，精确等于新速度的积分。
锯齿长（k = ∫(|cos|+| 区间 14） sin|)dφ 圆弧长 [0, π/4] 1.00000000 1.00000000 0.78539816 [π/6, π/3] 0.73205081 0.73205081 0.52359878 [π/4, π/2] 1.00000000 1.00000000 0.78539816 [0, π/2] 2.00000000 2.00000000 1.57079633
不是近似，是逐位相等。 极限对象的速度是 |cos φ| + |sin φ|，不是 1。
于是：
从来就没有悖论。 两条序列在“长度有定义”的那个空间里，收敛到两个不
同的对象；两个对象有两个不同的长度，各自一分不差。
全章可以压进一张表：
锯齿的极 内接的极层 收敛方式 限 限 相同？ 长度泛函点集 Hausdor 圆 圆 完全相同 只下半连
ff 续
（Golab
）面积 测度 / L¹ 圆盘 圆盘 完全相同 只下半连
续切向 参数化测 圆 ＋ 振荡 圆 不同 连续
度
前两层看不出任何差别。差别只在第三层才出现。
把三层并排，会看到一件事，而且它不是技术困难：
想让两条序列有同一个极限，长度就不连续。 想让长度连续，两条序列就不
再有同一个极限。
二者不可得兼——这是同一件事的两面。在点集层与面积层，你买到了“同一个极限”，代价是长度只剩一个不等号；在切向层，你买到了“长度连续”，代价是锯齿的极限不再是圆。
这条取舍解释了为什么这个悖论那么难破：人们下意识地同时要两样，而它们是同一枚硬币的两面。
一个常见的补法是：在点集上加一条筛选规则（凸性、全变差有界、切向收敛），把锯齿排除出去。这个补法有效，但它把事情说小了。
第八节第一条已经指出：锯齿的切向距离有一个与层数无关的下界，它不是被规则排除的，它根本不在那个空间里。所以真正发生的不是“加一条条件”，而是：
把对象从「点集」换成「点集 ＋ 每点切向的分布」。
这个对象在几何测度论里也有名字：varifold。
• 圆的 varifold：每点一个 Dirac 测度，压在真切向上。质量 = 2π。• 锯齿极限的 varifold：支撑集与圆一模一样，而每点是第八节那个两点测度。
质量 = 8。
同一个支撑集，两个不同的 varifold。
值得注意的是 varifold 当初被造出来的理由，与本章走到这一步的理由完全相同：点集这一层控制不住切向，紧性与下半连续的论证做不下去。第五编第三十章把Douglas 1936 判为通道三，正是这条线的起点。
三条命题，每条都可以为假。
命题 2.1.「沿逼近序列读出的长度」不是极限点集的函数。 证明：第六节的
构造。两条序列的 Hausdorff 极限是同一个集合，而长度的极限是 2π 与
8。∎ 失败标准：证明这两条序列的 Hausdorff 极限不同，或证明其中一条的
长度极限不是所报的值。
命题 2.2. 在 Hausdorff 收敛与 L¹ 收敛这两层上，长度只下半连续。 依据：
Golab 定理与周长的下半连续性，本书不重复其证明。本例给出 2π ≤ 8。 失
败标准：举出一列紧连通集，其 Hausdorff 极限的 ℋ¹ 严格大于 liminf。
命题 2.3. 存在一个刚性取舍：使两条序列同极限的拓扑，长度必不连续；使
长度连续的拓扑，两条序列必不同极限。 依据：第十节的三层对照。 失败标
准：造出一个拓扑，两条序列在其中同极限且长度连续。
四条，必须写在明处，否则本章会被读成比它更强的东西。
其一，本章没有证明点集定义是错的。 ℋ¹(圆) = 2πr 良定，且完全由点集决定。不良定的是“沿逼近序列读出来的长度”。第一章第十二节已经把这条界线划过一次，这里重申。
其二，本章没有证明锯齿算错了。 它精确地算出了 ℓ¹ 长度 8，也精确地算出了它自己那个极限对象的长度 8。
其三，本章没有给出 varifold 的任何定理。 第十二节只是指出这个对象存在并且早有名字；它的紧性理论与下半连续性属于几何测度论，本书不重述。
其四，本章只处理了一个对象。 一条曲线的长度。它是不是一切“低维量在逼近中丢失”的模型，本章没有证。第四编第二十七章会给出一个更一般的形状（体积量与跳变量的分道），而那一条同样只到第二层。