［本章即第一版第二章，第五、七、八三节据第二章的结果改写。其余各节不动。］
一至四节（不动）第一节“为什么要排表”、第二节“格 Ⅰ：路径变了，结果没变”、第三节“格 Ⅳ：结果不定，因为环境给弱了”、第四节“只看这两格会得出什么结论”，一字不改。
三个例子——连点成线、同一点集的不同三角剖分、Lloyd 算子与 Delaunay 翻转不可交换——保留原样。它们是挡住第四节那个反驳的地方。
原有的例子保留：平面圆、球面圆、双曲圆；内蕴曲率与外在曲率。
增补一个更强的例子，来自第二章：
环境不必换成另一个几何。只要把同一个欧氏平面上的对象层级从点集抬到
「点集 ＋ 切向分布」，锯齿序列的极限就从“圆”变成“圆 ＋ 切向振
荡”，长度从 2π 变成 8。
这比球面圆那一组更进一步：那里换 E 改变的是同一个对象的特征值（周长
的公式），这里换 E 改变的是极限对象本身——不再是同一个对象的另一个
值，而是另一个对象。
格 D E 结果 S 本例Ⅰ 变 不变 S 不变 内接与外切正
多边形，都收
敛到 2πⅡ 变 不变 S变 连点成线；不
同三角剖分；
Lloyd 与翻转
不交换Ⅲ 不变 变 S 换成另一个 换到切向有定
对象 义的空间：锯
齿的极限不再
是圆Ⅳ 变 给弱了 S 不唯一 只要求位置收
敛：长度可以
是 2π、8，甚
至∞
改判说明。 第一版把圆周长这个例子挂在格 Ⅳ。现改挂格 Ⅲ，格 Ⅳ 保留为“旧空间里的看法”。两者的关系是：
格 Ⅳ 是在旧空间里看：同一个 S 定不下来。 格 Ⅲ 是在新空间里看：极限根
本是两个对象。 后者更准——因为第二章第八节证明了锯齿在切向那一层不
是柯西列，它不是“定不下来”，它是不在那里。
顺带一提，格 Ⅲ 现在也需要一次措辞调整：原来写作“特征翻面”，那只覆盖球面圆那一类；现改为“S 换成另一个对象”，把两类都装下——特征翻面是它的弱形式，对象更替是它的强形式。
四格表仍然不是定理。但经过第二章之后，缺口的形状比第一版清楚得多，可以写成两句：
第一句（已经知道的）：(D, E) 在起作用，而且第二章给出了一个可复算的反
例对——同一个极限点集，两个长度。
第二句（还不知道的）：我们还不能陈述在什么条件下 (D, E) 一定能定出一
个 S，也不能陈述被定出来的是不是唯一，更不能陈述这套说法在什么情况
下会是假的。
第二编补的正是第二句。它会先设三条防——不设防，“S 由 D 与 E 决定”自动为真且毫无内容；再给出决定定理与它的三行证明；再用函数 sin(x) 把定理跑到底；最后交出四条硬边界。
读第二编时请带着本章这张表。第二编第十章的四条路径对应格 Ⅰ，第十一章的五个反例对应格 Ⅲ 的弱形式，第十二章第一节对应格 Ⅱ，第十三章的硬边界之三对应格Ⅳ。而格 Ⅲ 的强形式——换 E 之后极限换成另一个对象——在第二编不会再出现，它要到第三编第十九章（扩张选择律）与第四编第二十七章（体积量与跳变量的分道）才被正面处理。