定理 20.1（三通道，分解形式）. 设 S 为一次新发生的数学结构。则 S 的发
生可分解为通道一（压缩）、通道二（目标发生）、通道三（扩张）三者的
非空组合；每条通道的参与与否，由签名 A、B、C 分别判定，且判定可以为
假。
注意陈述的形式是分解，不是归类。早期表述写作“走且仅走三条之一”，那是错的，下一节给出反例。
微积分的发生同时走三条通道，逐条拆开：
通道一在场。 有限差分求变化率，要达到精度 ε 需要的步数随 ε 增长；一次求导则给出闭式。代价降阶，签名 A1 成立。
通道二在场。 “瞬时速度”这个目标不是自明的。芝诺悖论表明，在被力学问出来之前，“某一刻的速度”甚至被认为是自相矛盾的。目标的出场年代可指认（十七世纪，与力学问题绑定），签名 B1 成立。
通道三在场。 差商序列在有理数中不收敛；极限概念要求完备化，而 ε–δ 与实数构造的最终落定比牛顿莱布尼茨晚了两百年。签名 C1 成立。
所以微积分是 (一, 二, 三) 全在场的一次发生。这解释了它为什么难教：三条通道的内容需要三种不同的教法，而教材通常只用压缩通道的教法（给公式，练计算）。
第十六章表格最后一行留下的悬案至此了结：微分不是纯压缩，它是复合。
定理 20.1 断言三条通道足以分解每一次发生。这一断言目前没有证明，本编也不假装有。它的地位是一条经受了检验的经验命题，其证伪条件明确：
证伪条件. 举出一次新数学结构的发生，签名 A、B、C 三者全部为假。
本编自己提出第一个候选：范畴论的诞生。
Eilenberg 与 Mac Lane 在 1945 年引入范畴，动机是为了精确定义“自然同构”。为了说清什么叫自然变换，需要函子；为了说清什么叫函子，需要范畴。逐条判：
• 签名 A：没有把任何东西算得更短，A1 为假。
• 签名 B：目标（“自然”这个词是什么意思）确实是新的，B1 似乎成立；但 B2
存疑——当时的代数拓扑并非运行顺畅，“自然”一词被大量使用而无定义，这
本身像一种亏损。
• 签名 C：没有一族算子不封闭，也没有序列缺极限。C1 为假。所以范畴论要么是纯通道二，要么是三条之外的第四条——一条可称为“语言层升维”的通道：不是对象不够、不是代价太高、不是问题新，而是现有的语言说不出一句已经在被使用的话。
本编不下判断，把它作为穷尽性问题的第一个靶子留在这里。若第四条通道成立，定理 20.1 应改为四通道，而三条签名不受影响——这是分解形式相对于归类形式的好处：加一条通道不推翻已有的判定。
三条通道说明新 S 在什么条件下会发生，不说明它何时发生。除法在整数上不封闭，这个事实从整数存在的那一刻起就成立；分数却在特定文明的特定时期才出现。通道三给出的是可能性条件，不是充分条件。
补上这一格需要的是通道二的内容（是什么使它成为目标），而通道二的判定依赖史料。因此本编的解释力有一条明确上限：它能说清一次发生的机制，说不清它的时刻。 凡在本书中读到“因此 X 必然出现”的句子，都应读作“因此 X 的出现有一条可指认的通道”。