按本书的证据分级纪律，本章把第三编的全部承重项与其失败标准列在一处。
一、逐项分级
项 层级 内容
签名 A1/A2/A3 第一层 定义性的，可直接核对
签名 B1/B2/B3 第二层 B1 依赖史料，可被史
料推翻
签名 C1/C2/C3 第一层 C2 的唯一性由泛性质
给出，严格
命题 17.1 第二层 机制清楚，“局部”的
一般化定义未完成
第十九章统一表 第一层 前四行是标准代数事
实，可逐条验算
定理 20.1 分解形式 第二层 分解性经检验，穷尽性
未证
分数走通道三的纠正 第一层 由签名 A2 直接判出失败标准一（针对命题 17.1）. 举出一次压缩型发生，其后旧 D 的全部运算仍局部，且未引入新的 D2 流程或新的近似制度。
失败标准二（针对通道二）. 对第十八章四例中任一例，举出史料证明该目标在所指年代之前已作为明确的数学问题存在；或证明其领域在该年代之前确实处于亏损或失紧状态。
失败标准三（针对通道三的统一表）. 举出表中任一行，其扩张方向不由所列算子族唯一指定——即存在两个互不同构的扩张，同为该族的封闭化且同样满足所需性质。
失败标准四（针对定理 20.1）. 举出一次新结构的发生，签名 A、B、C 三者全部为假，且不能归入第二十章第三节所述的第四条通道。
第二编第十四章交代过：决定定理本身不是本学派的贡献，泛性质的唯一性是范畴论的常识；本学派的增量在归属——把 S 的每条特征指认给 D 或 E，并预言换 E 后哪条翻面。
第三编的自我限定与之平行，且更严：通道三是范畴论的（第十九章第五节已交代）；通道一与通道二不是，但通道一的核心命题只到第二层，通道二依赖史料。因此本编的贡献可以精确地写成两句：
而使“新数学结构从哪里来”这个问题第一次可以被逐例判定，而不是被整
体叙述。
条泛性质——这一条不是新定理，是一次归并。
不多不少，就是这两句。第四编将转向本书唯一“立”的部分：相容性公理与伞模型，那一编要给出的是一条带条件、带常数、带收敛率的定理。
［本编与其他编的接口］ 第二编第九章（决定定理三行证明）→ 本编第十九章第五节（通道三的唯一性即此证明）。 本编第十七章（局部性亏损逼出 D2）→ 第一编概念发生链（竖式、通分、约分的由来）。 本编第十八章（目标发生）→ 第六编（什么在发生、什么不在）。 本编第十九章（环境扩张诊断）→ 第五编（菲尔兹奖各届统一问句：这一届走哪条通道）。
编首语
前三编都在破。第二编破的是"对象的特征自带在对象里"，第三编破的是"新概念从天上掉下来"。破得再干净，读者合上书时手里仍然是空的——他知道了不该怎么想，不知道该拿什么去算。
本编是全书唯一"立"的一编。它要交出一个可以真正拿去算的东西：一条带条件、带常数、带收敛率的定理，以及从它派生的一条诊断规则。
路线是这样的。第二十二章指出，传统离散数学里有一条从未被写下来的公理——邻域不重叠。它没有被写下来，不是因为疏忽，是因为它不是被假设带进来的，而是被表示带进来的（这正是第十七章命题 17.1 说的那种代价）。第二十三章把它陈述成两条，并给出三个失效现场。第二十四、二十五章造替代品：伞（带权、可重叠的邻域）与共振算子。第二十六章给出退化定理——经典微积分是伞模型在 r→0 的极限，常数显式、收敛率 O(r²)、条件写明，并附两个互不依赖的验算。第二十七章给出本编真正的产出：体积量与跳变量在退化中分道，据此得到一条诊断，说明一个问题在什么条件下会被经典表述结构性地看不见。第二十八章交代这一编能被怎样推翻，并划清哪些是已有数学、哪些是本书的增量。
关于后一件，本编开篇就把话说在前面：第二十六章的退化定理不是新数学。 非局部算子向局部算子的收敛，在非局部向量微积分、peridynamics、图 Laplacian 收敛这三支文献里都是标准结果，其中非局部向量微积分正是Du、Gunzburger、Lehoucq、Zhou 一系工作的内容。本书重新给出它的完整证明，是为了让常数与收敛率对读者透明，不是为了宣称首创。本编的增量在第二十二、二
当诊断用。