1986 年一届中的两项工作放在一起，给出了第一编第二章格 III 的第二个教科书实例，而且比 Milnor 那一个更极端。
Freedman 证明四维拓扑流形的分类在拓扑范畴里出人意料地柔软；Donaldson 用规范场论证明同一批对象在光滑范畴里异常刚硬。
同一个四维拓扑显露，在拓扑环境与光滑环境里，表现完全相反。
四维还因此出现了别的维数都没有的现象：ℝ⁴ 上存在不可数多个互不等价的光滑结构。
判定：Freedman 解决型（四维庞加莱猜想是老问题）；Donaldson 通道三——把规范场论的解空间作为拓扑不变量的来源，这是一次工具环境的引入，而不是问题的重述。
1986 · Mordell 猜想（Faltings）. > 解决型。 Mordell 1922。
1990 · 量子群（Drinfeld）、纽结多项式（Jones）. > 均为通道三。 前者：把 Hopf代数形变以容纳可积系统的对称性；后者：把算子代数的迹搬到纽结上，产生了此前不存在的不变量。Jones 那一项也带通道一的局部化余味——它把一个难算的拓扑问题搬进一个好算的代数表示。
1990 · 极小模型纲领（Mori）. > 通道三。 为使双有理分类可以进行，必须允许一类带温和奇点的对象进入，否则纲领中途就无对象可用。
1990 · 物理方法进入数学（Witten）. > 第四通道候选，且是最不干净的一个。 它引入的不是新对象，也不是新算子，而是一整套提问与猜测的方式。本编把它记为候选，同时明写它最难判：它可能只是通道二的一个大规模版本（一次带来了大量新目标）。
Milnor（1962）与 Donaldson–Freedman（1986）是同一个发现的两次出现，中间隔了二十四年：拓扑与光滑不是同一件事。
第一次出现时它是一个反例（怪球存在）；第二次出现时它成了一个结构性结论（四维尤其如此）。
从“存在一个反例”到“这是一条普遍的结构性事实”，中间隔了一代人。 这个时间差本身值得记住——第一编第二章补格 II 时之所以困难，也是同一个原因：一个反例容易被当成特例，直到有人指出它是结构。